考研分母裂項(xiàng)拆分萬(wàn)能公式(分母多項(xiàng)式拆分法則)
來(lái)源:好上學(xué) ??時(shí)間:2022-08-22
數(shù)學(xué)中的某些理論好像都是一個(gè)個(gè)散落的珍珠,能否把它們統(tǒng)一在一起,這正是我感興趣的。
把一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆分成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和,至少有如下兩個(gè)不同的形式:
1、分母裂項(xiàng)拆分基本公式之一:1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------(1)
2、分母裂項(xiàng)拆分基本公式之二:1/n= (n k1 k2 k3 … kn)/[n(n k1 k2 k3 … kn)]------(2)
(其中k1、k2、k3、…kn都是n的因數(shù)之一)
(以上基本數(shù)理來(lái)自于網(wǎng)絡(luò))
思考的起點(diǎn)圖
許多的問(wèn)題總會(huì)接連不斷地浮現(xiàn),總希望能找出思考的頭緒:
1、它們的根源從何而來(lái)?
2、如何用最通俗的語(yǔ)言來(lái)描述?
3、每種數(shù)理包括哪些基本知識(shí)?
如何放在一個(gè)數(shù)理框架下進(jìn)行討論呢?先看以下幾個(gè)基本知識(shí)的概念:
(1) 單位分?jǐn)?shù)定義:我們把分子是1、分母是自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫單位分?jǐn)?shù),記成1/n。
(2) 真分?jǐn)?shù):分子和分母都是正整數(shù),分子小于分母的分?jǐn)?shù),它們都大于0而小于1。大于0而小于1的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。
(3) 假分?jǐn)?shù):分子和分母都是正整數(shù),分子等于分母或分子大于分母的分?jǐn)?shù),它們等于1或大于1,等于1或大于1的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù)。
(從單位分?jǐn)?shù)概念中分析得出“1/1=1”是假分?jǐn)?shù),在真分?jǐn)?shù)中1/2是最大的單位分?jǐn)?shù),所以下面的單位分?jǐn)?shù)中分母都從2開(kāi)始,只討論真分?jǐn)?shù)形式。)
(4) 分?jǐn)?shù)基本運(yùn)算方法(或法則)之一:分子分母同乘(或除以)一個(gè)不為0的數(shù),其分?jǐn)?shù)值不變。
通過(guò)對(duì)上面的分?jǐn)?shù)基本運(yùn)算方法(或法則)進(jìn)行分析,基本表達(dá)式如下:
1/n = m/(mn) (m>0 m,n∈N(自然數(shù)))---------(3)
(即:分子分母同乘(或除以)一個(gè)不為0的數(shù),其分?jǐn)?shù)值不變。)
接下來(lái)對(duì)(3)式進(jìn)行變形:
1、設(shè)m=n k, k∈N(自然數(shù))其(3)式基本形式變化如下:
1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------(4)
1)設(shè)k=1時(shí),(4)式就變成了如下形式:
1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------(1)
這就是開(kāi)頭的分母裂項(xiàng)拆分的基本公式之一。
所以(1)式就是從(3)式中演繹出來(lái)的特例:
(備注:演繹推理是由一般到特殊的推理方法。)
演繹推理:從一般表達(dá)式“1/n = m/(mn)”開(kāi)始,先是對(duì)m分類(lèi)(或限定),當(dāng)滿(mǎn)足“m=n k”條件時(shí),再對(duì)k分類(lèi)(或限定),當(dāng)滿(mǎn)足“k=1”這個(gè)條件時(shí)就成立了。
因此m=n 1只是“1/n = m/(mn)”表達(dá)式中,m取值的一個(gè)特例。
再看下面幾個(gè)基本知識(shí)的概念:
1、 因數(shù)(或約數(shù))與倍數(shù)定義:設(shè)a,b是整數(shù),b≠0。如果有一個(gè)整數(shù)C,它便得a=bc,則a叫做b的倍數(shù), b叫做a的因數(shù)。
單位分?jǐn)?shù)的表達(dá)基本形式其分子只能是1.因此分子不為1時(shí),則分子必定是分母的約數(shù)。
這就是對(duì)因數(shù)(或約數(shù))知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用。
例如因數(shù)(或約數(shù))概念中:c/a=c/bc=1/b. (b≠0,c≠0)那么“1/b”就是單位分?jǐn)?shù)的表達(dá)基本形式。
2、 素?cái)?shù)(或質(zhì)數(shù))與合數(shù):質(zhì)數(shù)又稱(chēng)素?cái)?shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù),除了1和它自身外,不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù);否則稱(chēng)為合數(shù)。(規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù))。
通過(guò)對(duì)上面素?cái)?shù)(或質(zhì)數(shù))與合數(shù)的概念分析,我們知道對(duì)于任何自然數(shù)“1”和“它自身”都是這個(gè)自然數(shù)的約數(shù)。
因此對(duì)于任何自然數(shù)都有如下表達(dá)方式:
n=n*1(任何數(shù)乘以1都等于這個(gè)數(shù)本身)
m=n 1 則m剛好等于“n=n*1”中“n的兩個(gè)因數(shù)(或約數(shù))n與1”的和。
思考結(jié)論:?jiǎn)挝环謹(jǐn)?shù)拆分與這個(gè)數(shù)本身的因數(shù)(或約數(shù))有關(guān)。n與1都是n的因數(shù)(或約數(shù))。它們從素?cái)?shù)(或質(zhì)數(shù))與合數(shù)的概念中得來(lái)。
當(dāng)m=n 1時(shí):
1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------(1)
對(duì)(1)式舉例說(shuō)明。
例如:
1/7=(1 7)/[7*(7 1)]
=(7 1)/(7*8)
=1/8 1/56 (對(duì)(1)式運(yùn)用一次,便將“單位分?jǐn)?shù)1/7拆分成2個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和”)
=9/(8*9) 1/56
=(8 1)/(8*9) 1/56
=1/9 1/72 1/56
(再次對(duì)(1)式運(yùn)用,便將“分?jǐn)?shù)單位分?jǐn)?shù)1/7拆分成3個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和”。
或者將1/56 拆分“ =1/8 1/ (56 1)/[56*(56 1)]=1/8 1/57 1/3192” )
……
由此可見(jiàn):用這種拆了又拆,不斷遞進(jìn)的拆分方法,可以將任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆分成N個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和。
即然m=n 1只是一種特例,有沒(méi)有其它的特例呢?
顯然合數(shù)的因數(shù)(或約數(shù))就不只有”1”與”它本身’,因此就會(huì)產(chǎn)生新的拆分方式。
先看算術(shù)基本定理:
算術(shù)基本定理定義
從算術(shù)基本定理定義中可以看出,就是講合數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
例如:
10=2*5,2、5兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)。符合N 的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
10=1*10,這種形式就“m=n 1”的形式,即滿(mǎn)足表達(dá)式(1)
因此k至少可以選擇:1、2、5、10
由于“分子分母同乘(或除以)一個(gè)不為0的數(shù),其分?jǐn)?shù)值不變?!?/span>
其基本數(shù)理如下:
1/n = m/(mn) (m>0 m,n∈N(自然數(shù)))---------(3)
當(dāng)m=n k時(shí)
1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------(4)
k取n的某個(gè)因數(shù)(或約數(shù)),如下:
1、 當(dāng)n=10,k=1時(shí),
1/10=(10 1)/(10*11)=1/11 1/110
2、 當(dāng)n=10,k=2時(shí)
1/10=(10 2)/(10*12)=1/12 1/60
3、 當(dāng)n=10,k=5時(shí)
1/10=(10 5)/(10*15)=1/15 1/30
4、 當(dāng)n=10,k=10時(shí)(特殊情況)
1/10=(10 10)/(10*20)=1/20 1/20
(這里便是兩個(gè)分母一樣,是常見(jiàn)的“一分為二”)
上面的是m=n k,m是n的基礎(chǔ)上再加某個(gè)數(shù)k,k為n的某個(gè)因數(shù)(或約數(shù))。
下面再看k的另一種情況:
m=k,(這里的K不是一個(gè)數(shù),而是與n有關(guān)的兩個(gè)因數(shù)的和)1、 當(dāng)k=1 2,
1/10=(1 2)/(10*3)=1/30 1/15
2、 當(dāng)k=1 5
1/10=(1 5)/(10*6)=1/60 1/12
3、 當(dāng)K=2 5
1/10=(2 5)/(10*7)=1/35 1/14
以上便是“單位分?jǐn)?shù)1/10拆分成2個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和”的幾種情況。(僅供參考)
對(duì)于K的拓展就可以知道:
m=k, (這里K不是一個(gè)數(shù),而是與n有關(guān)的3個(gè)因數(shù)的和。)1、 當(dāng)k=1 2 5,
1/10=(1 2 5)/(10*8)=1/80 1/40 1/16
2、 當(dāng)k=1 2 10
1/10=(1 2 10)/(10*13)=1/130 1/65 1/13
3、 當(dāng)K=1 5 10
1/10=(1 5 10)/(10*16)=1/160 1/32 1/16
4、 當(dāng)K=2 5 10
1/10=(2 5 10)/(10*17)=1/170 1/34 1/17
以上便是“單位分?jǐn)?shù)1/10拆分成3個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和”的幾種情況。(僅供參考)
當(dāng)K是n有關(guān)的4個(gè)因數(shù)的和時(shí),顯然有:當(dāng)K=1 2 5 10
1/10=(1 2 5 10)/(10*18)=1/180 1/90 1/36 1/18
思考結(jié)論總結(jié):?jiǎn)挝环謹(jǐn)?shù)拆分與這個(gè)數(shù)本身的因數(shù)(或約數(shù))有關(guān)。只與的k取值有關(guān),k是n的兩個(gè)因數(shù)或多個(gè)因數(shù)之和。
基本數(shù)理是:
分?jǐn)?shù)計(jì)算法則之一:分子分母同乘(或除以)一個(gè)不為0的數(shù),其分?jǐn)?shù)值不變。
基本表達(dá)式如下:
1/n = m/(mn) (m>0 m,n∈N(自然數(shù)))---------(3)
(其中m=k,k是n的兩個(gè)或多個(gè)因數(shù)(或約數(shù))的和)
除了上面的這種方法以外,還有一種對(duì)m倍增的方法。(個(gè)人愛(ài)好,僅做思考拓展。)
基本數(shù)理是:
分?jǐn)?shù)計(jì)算法則之一:分子分母同乘(或除以)一個(gè)不為0的數(shù),其分?jǐn)?shù)值不變。
具體表達(dá)式如下:
1/n = m/(mn) (m>0 m,n∈N(自然數(shù)))---------(3)
m=ki, (第一個(gè)K1 =K, K2=2^(2-1)* K, K3= 2^(3-1)*K…ki=2^(i-1)*k,其中k是n的兩個(gè)或多個(gè)因數(shù)(或約數(shù))的和)
例如:
當(dāng)n=7,k=1 7=8
1、 當(dāng)K1=k=1 7=8時(shí),(這里K1=k)
1/7=(1 7)/(7*8)=1/8 1/56
2、 當(dāng)K2=2^(2-1)*K=2* (1 7)=16時(shí),(可以理解為K2是K1的2倍,是K的2倍)
1/7=(1 7 8)/(7*16)=1/112 1/16 1/14
3、 當(dāng)K3=2^(3-1)*K=2^2*(1 7)=32時(shí),(可以理解為K3是K2的2倍,是K的4倍)
1/7=(1 7 8 16)/(7*32)=1/224 1/32 1/28 1/14
4、 當(dāng)K4=2^(4-1)*K=2^2*(1 7)=64時(shí),(可以理解為K4是K3的2倍,是K的8倍)
1/7=(1 7 8 16 32)/(7*64)=1/448 1/64 1/56 1/28 1/14
……
先看完全數(shù)定義:它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和(即因子函數(shù)),恰好等于它本身。如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的真因子之和,則稱(chēng)該數(shù)為“完全數(shù)”。 例如:第一個(gè)完全數(shù)是6,它有約數(shù)1、2、3、6,除去它本身6外,其余3個(gè)數(shù)相加,1 2 3=6。
用這種方法,對(duì)于單位分?jǐn)?shù)中分母為“完全數(shù)”有如下拆分:
當(dāng)n =6,k=1 2 3
1、 當(dāng)K1=k=1 2 3=6時(shí)
1/6=(1 2 3)/(6*6)=1/36 1/18 1/12
2、 當(dāng)K2=2^(2-1)*K=2* (1 2 3)=1 2 3 6=12時(shí)(其中K2是K1的2倍)
1/6=(1 2 3 6)/(6*12)=1/72 1/36 1/24 1/12
3、 當(dāng)K3=2^(3-1)*K=2^2*(1 2 3)= 1 2 3 6 12=24時(shí)(其中K3是K2的2倍)
1/6=(1 2 3 6 12)/(6*24)=1/144 1/72 1/48 1/24 1/12
4、 當(dāng)K4=2^(4-1)*K=2^3* (1 2 3)= (1 2 3 6 12 24)=48時(shí)(其中K4是K3的2倍)
1/6=(1 2 3 6 12 24)/(6*48)=1/288 1/144 1/96 1/48 1/24 1/12
......
單位分?jǐn)?shù)拆分演繹圖
如有不當(dāng)之處,敬請(qǐng)斧正!
題外話(huà):將分?jǐn)?shù)拆分成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和的作用是什么?
仁者見(jiàn)仁,智者見(jiàn)智,每個(gè)人的理解可能都不一樣。
例如有一個(gè)題:把7個(gè)面包分給8個(gè)人,解答的形式是7/8=1/2 1/4 1/8.從式子中可以看出,應(yīng)該把面包切成這樣的幾份:把4個(gè)面包每個(gè)切成兩份,2只面包都切成四份,一只面包切成8份。(摘抄于<數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史>第25頁(yè))
1、 分?jǐn)?shù)分為三類(lèi):真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)
1) 真分?jǐn)?shù):分子和分母都是正整數(shù),分子小于分母的分?jǐn)?shù),它們都大于0而小于1。大于0而小于1的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。
2) 假分?jǐn)?shù):分子和分母都是正整數(shù),分子等于分母或分子大于分母的分?jǐn)?shù),它們等于1或大于1,等于1或大于1的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù)。
3) 帶分?jǐn)?shù):整數(shù)后面帶有分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)。(可以當(dāng)是假分?jǐn)?shù)的另一種形式。)
2、 單位分?jǐn)?shù)定義:我們把分子是1、分母是自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫單位分?jǐn)?shù),記成1/n。
3、 分母裂項(xiàng)拆分基本公式之一:1/[n(n 1)]=(1/n)- [1/(n 1)]。
4、 分?jǐn)?shù)計(jì)算法則之一:分子分母同乘(或除以)一個(gè)不為0的數(shù),其分?jǐn)?shù)值不變。
5、 算術(shù)基本定理可表述為:任何一個(gè)大于1的自然數(shù) N,如果N不為質(zhì)數(shù),那么N可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積N=P1^a1P2^a2P3^a3......Pn^an,這里P1 6、 素?cái)?shù)(或質(zhì)數(shù))與合數(shù):質(zhì)數(shù)又稱(chēng)素?cái)?shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù),除了1和它自身外,不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù);否則稱(chēng)為合數(shù)。(規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù))。 7、 因數(shù)(或約數(shù))與倍數(shù)定義:設(shè)a,b是整數(shù),b≠0。如果有一個(gè)整數(shù)C,它便得a=b C,則a叫做b的倍數(shù), b叫做a的因數(shù)。 8、 完全數(shù)定義:“完全數(shù)(Perfect number),又稱(chēng)完美數(shù)或完備數(shù),是一些特殊的自然數(shù)。它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和(即因子函數(shù)),恰好等于它本身。如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的真因子之和,則稱(chēng)該數(shù)為“完全數(shù)”。 例如:第一個(gè)完全數(shù)是6,它有約數(shù)1、2、3、6,除去它本身6外,其余3個(gè)數(shù)相加,1 2 3=6。第二個(gè)完全數(shù)是28,它有約數(shù)1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5個(gè)數(shù)相加,1 2 4 7 14=28。第三個(gè)完全數(shù)是496,有約數(shù)1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,除去其本身496外,其余9個(gè)數(shù)相加,1 2 4 8 16 31 62 124 248=496。后面的完全數(shù)還有8128、33550336等等。