高一數學必修一知識點總結，高一數學必修一知識點匯總
來源：好上學 ??時間：2023-07-30
高中數學對同學們來說一直都是比較困難的。所以，從高一開始就要好好把握。為了讓大家更好地學習，小編在此為大家整理了一份高一數學必修一知識點總結。
第一章 *(jihe)與函數概念
一、*(jihe)有關概念
1、*的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個*，其中每一個對象叫元素。
2、*的中元素的三個特性：
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明：(1)對于一個給定的*，*中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的*的元素。
(2)任何一個給定的*中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個*時，僅算一個元素。
(3)*中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個*是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)*元素的三個特性使*本身具有了確定性和整體性。
3、*的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示*：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
2.*的表示方法：列舉法與描述法。
注意?。撼Ｓ脭导捌溆浄ǎ?/p>
非負整數集(即自然數集) 記作：N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R
關于“屬于”的概念
*的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是*A的元素，就說a屬于*A 記作 a∈A ，相反，a不屬于*A 記作 a?A
列舉法：把*中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。
描述法：將*中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示*的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個*的方法。
?、僬Z言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
?、跀祵W式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、*的分類：
1.有限集 含有有限個元素的*
2.無限集 含有無限個元素的*
3.空集 不含任何元素的* 例：{x|x2=-5｝
二、*間的基本關系
1.“包含”關系—子集
注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一*。
反之: *A不包含于*B,或*B不包含*A,記作A B或B A
2.“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
結論：對于兩個*A與B，如果*A的任何一個元素都是*B的元素，同時,*B的任何一個元素都是*A的元素，我們就說*A等于*B，即：A=B
?、偃魏我粋€*是它本身的子集。AíA
?、谡孀蛹?如果AíB,且A1 B那就說*A是*B的真子集，記作A B(或B A)
?、廴绻?AíB, BíC ,那么 AíC
④ 如果AíB 同時 BíA 那么A=B
3.不含任何元素的*叫做空集，記為Φ
規(guī)定: 空集是任何*的子集， 空集是任何非空*的真子集。
三、*的運算
1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的*,叫做A,B的交集.
記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
2、并集的定義：一般地，由所有屬于*A或屬于*B的元素所組成的*，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
3、交集與并集的性質：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集與補集
(1)補集：設S是一個*，A是S的一個子集(即 )，由S中所有不屬于A的元素組成的*，叫做S中子集A的補集(或余集)
記作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}
(2)全集：如果*S含有我們所要研究的各個*的全部元素，這個*就可以看作一個全集。通常用U來表示。
(3)性質：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
二、函數的有關概念
1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于*A中的任意一個數x，在*B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從*A到*B的一個函數.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的*{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.
注意：○2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的*;○3 函數的定義域、值域要寫成*或區(qū)間的形式.
定義域補充
能使函數式有意義的實數x的*稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數不小于零; (3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的*.(6)指數為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)
2.構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域
再注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
值域補充
(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。
3.函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的*C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.
C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2)畫法
A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.
B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。
4.快去了解區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數軸表示.
5.什么叫做映射
一般地，設A、B是兩個非空的*，如果按某一個確定的對應法則f，使對于*A中的任意一個元素x，在*B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從*A到*B的一個映射。記作“f：A B”
給定一個*A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①*A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調從*A到*B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對于映射f：A→B來說，則應滿足：(Ⅰ)*A中的每一個元素，在*B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)*A中不同的元素，在*B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求*B中的每一個元素在*A中都有原象。
6.常用的函數表示法及各自的優(yōu)點：
○1 函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;○2 解析法：必須注明函數的定義域;○3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特征;○4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.
注意啊：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值
補充一：分段函數 (參見課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.
補充二：復合函數
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的復合函數。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函數單調性
(1).增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1
如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1
注意：○1 函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質;
○2 必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2;當x1
(2) 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法
(A)定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
(B)圖象法(從圖象上看升降)_
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律如下：
函數 單調性
u=g(x) 增 增 減 減
y=f(u) 增 減 增 減
y=f[g(x)] 增 減 減 增
注意：1、函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎?
8.函數的奇偶性
(1)偶函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.
(2).奇函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.
注意：○1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質;函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。
○2 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱).
(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征
偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.
總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：○1 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱;○2 確定f(-x)與f(x)的關系;○3 作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數.
注意?。汉瘮刀x域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.
(2).求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值○2 利用圖象求函數的最大(小)值○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
第二章 基本初等函數
一、指數函數
(一)指數與指數冪的運算
1.根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈ *.
當 是奇數時，正數的 次方根是一個正數，負數的 次方根是一個負數.此時， 的 次方根用符號 表示.式子 叫做根式(radical)，這里 叫做根指數(radical exponent)， 叫做被開方數(radicand).
當 是偶數時，正數的 次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號- 表示.正的 次方根與負的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作 。
2.分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規(guī)定：
0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規(guī)定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.
(二)指數函數及其性質
1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數(exponential function)，其中x是自變量，函數的定義域為R.
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的圖象和性質
a>1 0
圖象特征 函數性質
向x、y軸正負方向無限延伸 函數的定義域為R
圖象關于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數
函數圖象都在x軸上方 函數的值域為R+
函數圖象都過定點(0，1)
自左向右看，
圖象逐漸上升 自左向右看，
圖象逐漸下降 增函數 減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大于1 在第一象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都小于1 在第二象限內的圖象縱坐標都大于1
圖象上升趨勢是越來越陡 圖象上升趨勢是越來越緩 函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快; 函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;
(2)若 ，則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;
(3)對于指數函數 ，總有 ;
(4)當 時，若 ，則 ;
二、對數函數
(一)對數
1、對數的概念：一般地，如果 ，那么數 叫做以 為底 的對數，記作： ( — 底數， — 真數， — 對數式)
說明：○1 注意底數的限制 ，且 ;
○2 注意對數的書寫格式.
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ;
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 .
2、對數式與指數式的互化
對數式 指數式
對數底數 ← → 冪底數
對數 ← → 指數
真數 ← → 冪
(二)對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是(0，+∞).
注意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。
○2 對數函數對底數的限制.
2、對數函數的性質：
a>1 0
圖象特征 函數性質
函數圖象都在y軸右側 函數的定義域為(0，+∞)
圖象關于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數
向y軸正負方向無限延伸 函數的值域為R
函數圖象都過定點(1，0)
自左向右看，
圖象逐漸上升 自左向右看，
圖象逐漸下降 增函數 減函數
第一象限的圖象縱坐標都大于0 第一象限的圖象縱坐標都大于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0 第二象限的圖象縱坐標都小于0
(三)冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數.
2、冪函數性質歸納.
(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過點(1，1);
(2) 時，冪函數的圖象通過原點，并且在區(qū)間 上是增函數.特別地，當 時，冪函數的圖象下凸;當 時，冪函數的圖象上凸;
(3) 時，冪函數的圖象在區(qū)間 上是減函數.在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.
第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對于函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。
2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。即：
方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點.
3、函數零點的求法：
求函數 的零點：
○1 (代數法)求方程 的實數根;
○2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數的性質找出零點.
4、二次函數的零點：
二次函數 .
1)△>0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.
2)△=0，方程 有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.
3)△<0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點.
以上就是高一數學必修一知識點匯總，希望對你有所幫助。
今天最后推薦的在線輔導平臺是專注教育——中小學網上*輔導，全國重點中學名師*家教補家教補習！
以上就是好上學為大家?guī)淼母咭粩祵W必修一知識點總結，高一數學必修一知識點匯總，希望能幫助到廣大考生！
